Как сделать деление в столбик на трехзначное число

Как сделать деление в столбик на трехзначное число
Как сделать деление в столбик на трехзначное число
Как сделать деление в столбик на трехзначное число

Комментарии

Google says: Вова (21.08.08):

Для этого надо рассмотреть число 1001= 71113. :))
и можно объединить:
Число делится на 7, 11 или 13, если знакопеременная сумма чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +), делится на 7, 11 или 13 соответственно.

Хью (12.12.08): блин так как на 7 определить делится или нет    Ответ редакции

Перечитайте второй пункт.

akasex (18.12.08): Признак Паскаля...    Ответ редакции

От Паскаля слышу...

Аноним (26.02.09): спасибо !    Ответ редакции

пользуйтесь !

Keyboarder (20.03.09): Кто-нибудь может дать доказательство всех этих утверждений, если они вообще есть?    Ответ редакции

Последнее предложение перечитайте три раза.

Аноним (11.05.09): Что-такое знакопеременная сумма чисел.    Ответ редакции

Не знаем (((
Может, сумма чисел с меняющимися знаками? Сначала знак "кирпич", потом знак "Осторожно, дети!", потом знак "гужевой транспорт".

Wind (08.08.09): Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр (последняя цифра со знаком +) делится на 11.
Можно сказать проще:
число делится на 11, если сумма цифр, занимающих четные места = сумме нечетных цифр, или отличается от нее на число, делящееся на 11.    Ответ редакции

Можно.

Аноним (07.09.09):

пасиба!!!!!!!!

Марина (08.09.09):

Те, что стоят на четных местах берем со знаком +, а на нечетных - с минусом.

евгений (09.09.09): узнать признак делимости на 7 и 11    Ответ редакции

Узнавайте.

Нютик (10.09.09):

спасибо! мне 5 за это поставмили.

Mary (11.09.09): Число делится на 11 в том и только в том случае, если на 11 делится сумма, получаемая следующим образом: десятичную запись числа разбивают на группы по две цифры справа налево (самая левая группа может состоять и из одной цифры) и все полученные числа складывают.
Доказательство. Запишем число в системе счисления с основанием 100. , где коэффициенты - двузначные числа. Остатки от деления чисел 100, , …, , … на 11 равны 1. Действительно, , , и т. д. Здесь - сумма двузначных чисел.    Ответ редакции

Зачем такое сложно доказательство?
Рассмотрим разность между числом и знакопеременной суммой его цифр. В случае трёхназного числа abc это число равно 100a+10b+c, знакопеременная сумма его цифр равна a-b+c.
Разность между ними: (100a+10b+c)-(a-b+c) = 99a+11b = 11(9a+b)
Число справа делится на 11, значит либо и вычитаемое, и уменьшаемое либо одновременно кратны 11, либо одновременно некратны (они дают одинаковый остаток при делении на 11).
Возможность расписать доказательство в общем случае мы предоставляем нашим читателям. Подскажем, что все слагаемые в итоговой разности будут иметь вид 9...9 или 1(00..00)1 — во втором случае внутри скобок записано чётное число нулей. Для доказательства делимости чисел вида 1(00..00)1 на 11 можно прибегнуть к индукции, например.
Если в знакопеременной сумме цифр последняя цифра взята с минусом, а не с плюсом, то рассматривать надо не разность, а сумму.

Mary (11.09.09): Знакопеременная сумма это +-+-+-+-+. Начинать расставлять знаки нужно с конца числа, причём первым, как уже было сказано обязательно должен быть +!    Ответ редакции

Какая разница, Mary? Вы думаете, так обязательно получится неотрицательное число? Необязательно.
А вообще отрицательные целые числа тоже могут делиться нацело.

Тайна (16.09.09): как понять знакопеременная?    Ответ редакции

Марина написала уже.

Машутка (18.09.09): Спасибо Благодаря вашему сайту я получила 5    Ответ редакции

Надеемся, что не по 12-балльной системе.

DGW (11.10.09): Случайно нашел Вашу страницу. Спасибо, очень интересно.
У меня братик ходит в 5 класс и у него задача:
докажи, что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, делящееся на 11.
Из Ваших пояснений я понял, что (abc) равно 100a+10b+c, но я не могу объяснить ему (100a+10b+c)-(a-b+c). Объясните, пожалуйста, из каких соображений мы берем 2-е слагаемое (-(a-b+c))? Спасибо за помощь!    Ответ редакции

Если к трёхзначному числу abc приписать его цифры в обратном порядке, получится шестизначное число abccba, которое равно 100000a+10000b+1000c+100с+10b+a = 100001a+10010b+1100c = 11(9091a+910b+100c).
Очевидно, что полученное число делится на 11.
Я предполагаю, что в пятом классе умеют раскладывать число по разрядам, именно на этом решение и основано.
Если они знают признак делимости на 11 (не думаю, что они его доказывают, просто учат и используют), то можно применить этот признак к числу abccba. Знакопеременная сумма его цифр равна a-b+c-с+b-a = 0; 0 на 11 делится, значит и само число делится.

Аноним (11.10.09):

Огромное спасибо!!!

Kleo (14.10.09):

Подскажите пожалуйста,как определить четное или нечетное число делителей у числа n, и какое значение имеет степень в этом случае, например n^2, где n - натуральное число (12345^2)

th13f (26.10.09):

спасибо

Alekcandra (29.11.09):

Признак делимости на 7))
а общий вид?))это подходит только для больших чисел, которые состоят из количества цифр кратных 3

ultra mojito (04.12.09):

блииин не поняла про 11 помогите кто нибудь

Аноним (04.12.09):

непонятно

Аноним (27.12.09):

скажите пожалуйста признак деления на 18 а то я дз не могу выполнить

Максим (10.01.10):

Да признака делимости на 18 нет, но есть признаки делимости на 9 и 2, если на них число делится, то число делится и на 18.

Аноним (10.01.10):

Подскажите пожалуйста, делится ли число 11...111 (единиц 2009) на 7????

Аноним (11.01.10):

нет, не делится!!!

Аноним (26.01.10):

а как на 27 делить
а то признака нигде найти не могу
Помогите пожалуйста

Елена (07.02.10):

привет от учителя математики и спасибо! только теперь это надо ещё и детям объяснить%)

Аноним (20.02.10):

а можно пример деления многозначного числа на 7? а то что-то не очень понятно.

Олег (02.03.10):

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Олег (02.03.10):

Ну и если кому-то понадобится - натолкнулся случайно:
Признаки делимости Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.
Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 42) = 414 продолжаем 4 + (3 14) = 46 очевидно делится на 23).
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n - 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n - 1.
Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр - нули.
Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.

=) (04.03.10):

Вот Олег-молодец! Всё понятно написал,а то Знакопеременная сумма.....

Даниил (05.03.10):

Нашел вашу страницу. Меня интересует задача: два трехзначных числа не делятся на три. Как доказать, что либо сумма этих чисел, либо их разность делится на три? Задали в 6 классе.
Помогите, пожалуйста

мира (12.03.10):

спасибо, очень быстро нашла признак на 7

Аноним (24.03.10):

Где доказательства этого всего?(((((

))) (25.03.10):

Подскажите пожалуйста признак делимости на 27

Yana (10.05.10):

Надеюсь,поможет получить 5...)

Аноним (19.05.10):

Вопрос по признаку делимости на 7: А если количество цифр в числе не делиться на 3. например состоит из семи цифр

Мария (14.06.10):

Ребятки, помогите решить задачку. Доказать, что если какое либо двузначное число делится на 7, то на 7 делится и число обращенное и увеличенное на колличество десятков данног числа. (например, 14 делится на 7, и число 41+1=42 делится на 7).

Аня (05.09.10): А у меня тут такой вопрос,вернее не у меня,а у моей племяшки,помогите,пожалуйста, решить вот такую штуку:"Докажите,что разность трехзначного числа и числа,записанного теми же цифрами в обратном порядке ,делится на 9."Будем признательны за помощь:)    Ответ редакции

пожалуйста

Аноним (09.09.10):

СУПЕЕЕР

селя мл. (09.09.10):

люди, а есть что нибудь по-понятней для 6класса?

Аноним (12.09.10): самый тупой сайт который я видела!!!!    Ответ редакции

ок

ВеЛиКиЙ МаТеМаТиК (12.09.10):

Ей богу я не хира не поняла. И как ме по математике здавать???

ЛиЗа (12.09.10):

Ей богу самого глепого сайта в жизни не видали

аня (14.09.10):

ВеЛиКиЙ МаТеМаТиК
Ей богу я не хира не поняла. И как ме по математике здавать???
тогда не считайте себя "ВеЛиКиЙм МаТеМаТиКом";) всё бонально просто!

Юлечка (15.09.10):

Очень всё понятно расписано в районе 4 страницы Олегом (запись от 02.03.10). Практически на пальцах. Спасибо.

Александр (21.09.10):

Всем здравствуйте. Помогите решить задачку!
Найдите все семизначные числа, все цифры которых различны и которые делятся на все эти цифры.

luci (25.09.10):

Помогите пожалуйста разобраться в решении и объясните что к чему:a+b+c=328

ответ (28.09.10):

редакция вам ответ: сумма цифр трехзначного числа делится на 9 с каким-то остатком, то если поменять порядок, то остаток будет таким же при делении на 9, при вычитании одного числа из другого остатки тоже вычитаются, получается остаток при делении на 9 будетт 0

ХХХ (06.10.10):

Олег молодец!!!

Gustaf (10.10.10):

Не могу понять в чем моя ошибка при применении метода паскаля - может подскажете?
Делю на 7 число 16777215 (делится на 7 без остатка), но многочлен паскаля с коэффициентами r1..r5 {3,2,6,4,5,1} не дает сумму, которая без остатка делится на 7. Вот сумма = 1[1]+1[6]+5[7]+4[7]+6[7]+2[2]+3[1]+[5]=124.
В чем ошибка?

рита (11.10.10):

люди можете написать те числа которые делятся на 3 и на 4 сразу

алинка (13.10.10):

а как доказать что число АБАБАБ делится на 7????? (А,Б - цифры)

Ksuxa ))) (15.10.10):

Глупый сайт и ничего непонятно !!! УЖАС !!!

фотограф (25.10.10):

Помогите пожалуйста! мне нужно решить задачу: каких натуральных чисел больше(от 1 до 1 000 000):делящихся на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11?

Александр (27.10.10):

А как тогда узнать делится число 3^60 - 2^60 на 11? Кто знает помогите, реально надо!!!!!!
можно и в скайп skript999

Аноним (02.11.10):

Сайт Спер Мне к егэ
очень помогло

Егор (04.11.10):

Олег браво !!

Никита (15.11.10):

можете помочь??? нужно доказать что число делится на 7(11,13) тогда и только тогда когда разность между числом, составленным из 3-ёх последних цифр данного числа, составленным из оставшихся цифр делится на 7(11,13)

Аноним (21.11.10):

А есть примеры???

Аноним (25.11.10):

Херня полная!Объясняйте лучше!Я тока через полчаса сам допер!

Аноним (02.12.10):

помогите решить задачку: Докажите, что среди 2011 натуральных чисел можно выбрать два числа разность которых делится на 11.

света (05.12.10):

в признаке делимости на 11 - 10n или 10 в степени n?

Аноним (05.12.10):

докажите плиз подробно необходимые и достаточные признаки делимости на 4, 5, 9 и 25

Тома (06.12.10):

Решение задачи для Александра(27.10.10). Конечно, поздновато, но, может, ещё пригодится:
Задача 3. делится ли число 3^60 - 2^60 на 11?
Решение :3^60-2^60=(3^30-2^30 )∙(3^30+2^30 )=(3^10-2^10 )∙(3^10+2^10 )∙(3^20+3^10∙2^10+2^20 )∙(3^20-3^10∙2^10+2^20 )=(3^5-2^5 )∙(3^5+2^5 )∙(3^10+2^10 )∙(3^20+3^10∙2^10+2^20 )∙(3^20-3^10∙2^10+2^20 )
Произведение делится на простое число, если хотя бы один из множителей его разложения делится на это число. В общем случае вычисления могут оказаться весьма громоздкими, но в нашем случае, если начать перебор, начиная с меньших множителей, получаем результат на 2 шагу.
3^5=243; 2^5=32,тогда 3^5-2^5=211⋮ ̅11
3^5+2^5=275⋮11,т.к.2+5-7=0⋮7
Ответ: делится.

Тома (06.12.10):

Когда увидела, во что превратилась на сайте запись моего решения, поняла, что нужно написать комментарии:
1 шаг: 3^60 - 2^60 сначала разложить по формуле разности квадратов, затем, полученные сумму и разность разложить по формулам, соответственно, разности кубов и суммы кубов. Первую скобку разности кубов разложить ещё раз по разности квадратов.
Получится сумма и разность пятых степеней тройки и двойки.
2 шаг: вычислим пятые степени и найдём сначала разность. Она равна 211 и не делится на 11, а сумма даёт 275. Это число делится на11 по признаку.

Тома (06.12.10):

Ответ (скорее всего, запоздалый) на запись фотографа от (25.10.10):
Помогите пожалуйста! мне нужно решить задачу: каких натуральных чисел больше(от 1 до 1 000 000):делящихся на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11?
Решение: В миллионе содержится 90909 чисел, делящихся нацело на 11, т.к. 1000000: 11 = 90909(1) и 76923 числа, делящихся нацело на 13, т.к. 1000000:13 = 76923(1), а также 6993 числа, которые делятся одновременно на 11 и на 13,т.е. на их произведение 143, т.к. 1000000: 143 = 6993(1).
Количество чисел, делящихся на 11 и не делящихся на 13, составляет 90909-6993=83916, а делящихся на 13 и не делящихся на 11, будет 76923-6993=69930.
Ответ: в миллионе больше чисел, делящихся на 11 и не делящихся на 13, чем чисел, делящихся на 13 и не делящихся на11
Замечание: Все вычисления можно было не проводить: 11 меньше 13, значит частное от деления миллиона на 11 больше частного от деления миллиона на 13. Из этих частных вычитается одно и то же количество чисел, которые делятся и на 11 и на 13 одновременно. По свойству числовых неравенств, смысл неравенства не изменяется, если из его обеих частей вычесть одно и то же число.

NЛЬR (10.01.11):

А как определить, что признак делимости на 7, именно кратность семи ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ СУММОЙ ЧИСЕЛ, ОБРАЗОВАННЫХ ТРОЙКАМИ ЕГО ЦИФР, взятыми с конца(ПОСЛЕДНЕЕ ЧИСЛО СО ЗНАКОМ +)?
(Что нужно определить, я выделил)

ЯЯЯ (11.01.11):

Найдутся ли хотя бы 3 десятичных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9.

света (11.01.11):

мне надо доказать обратное утверждение для каждого признака делимости.(7класс)

КатюшКА (12.01.11):

Спасибо=)
Очень пригодилось=)))

Тома (17.01.11):

Ответ для ЯЯЯ
Найдутся ли хотя бы 3 десятизначных числа, в записи которых использованы все цифры от 0 до 9, которые делятся на 11.
Решение:
Число делится на 11, когда делится на 11 знакочередующаяся сумма цифр числа!
Сумма всех цифр любого числа из условия 0+1+..+9=45
Из всех возможных разностей соответствующих сумм на 11 делятся числа: 0; 11; 22; 33; 44.
Сумма цифр любого числа из условия 0+1+..+9=45,
значит о и 22 и 44 не подходят, т.к. в этом случае разности получатся дробными, чего не может быть.
Если разность 33, то суммы соответственно равны 39 и 6, что невозможно: наименьшая сумма пяти слагаемых 0+1+2+3+4=10.
Т.о. разность сумм не может составлять 33.
Это значит, что разность сумм должна равняться 11: т.е. суммы могут принимать значения 17 и 28.
Осталось подобрать такие пятёрки различных чисел от 0 до 9, суммы которых равны 17, тогда суммы оставшихся чисел от 0 до 9 принимают значение 28.
Найдём такие суммы:
2+0+4+5+6=17, тогда 1+3+7+8+9=28
Числа, удовлетворяющие условию, например,
2103475869; 1230748596; 4103276859 и т.д.
Возможны другие суммы:
1+0+3+7+6=17, тогда 2+4+5+8+9=28
1+2+3+4+7=17, тогда 5+6+0+8+9 = 28
и т.д.
Т.о. не только удалось показать существование 3 чисел, удовлетворяющих условию, и привести примеры этих чисел, но и показать способ их конструирования.

Даша (18.01.11):

кто знает.....?..признак делимости на 22, 33, 36, 45, 55, 75 ..подскажите филологу))))

Тома (19.01.11):

Даша! Числа,признаки делимости на которые Вы спрашиваете, являются составными. 22=112, следовательно, чтобы число делилос. на 22, оно должно делиться на 2 и на 11, т.е. быть чётным и его знакочередующаяся сумма цифр долна делиться на 11. 33=311 - значит долен выпоняться признак делимости на 3 (сумма всех цифр числа делится на3) и признак делимости на 11. 45=59 На 5 делятся числа,оканчивающиеся на 0 и на 5, а на 9, сумма цифр которого делится на 9. 55=511 - требуется выполнение приведённых выше признаков делимости на 5 и на 11. 75=325. Число делится на 25, если оканчивается на 25,50,75,00. Признак делимости на 3 приведён выше. Дальше, используя известные признаки делимости, можете сами проверять делимость чисел, разложив их на удобные(не всегда простые) множители.

Мария (29.01.11):

существует ли 36-значное число,36-я степень которого оканчивается самим этим числом?

ученик (02.02.11):

помогите решить задачу
найдите наименьшее число, котороет при делении на 13, 11 и 7 дает остаток 1, а на 3 делится нацело

ученик (02.02.11):

уже сам нашел число, но не знаю, как объяснить решение

Тома (07.02.11):

Искомое число 1002.
Наименьшее число, которое без остатка делится на 7,11 и 13 есть их произведение, т.к. числа простые. Оно равно 1001 ( число Шахразады). Следовательно, наименьшее число, которое при делении на все данные числа даёт в остатке 1 - на единицу больше числа, которое на них делится нацело, т.е. 1001+1=1002. Т.к. сумма цифр найденного числа делится на 3, то оно удовлетворяет и второму требованию, т.е. делится нацело на 3.

natasha (25.02.11):

найдите все такие простые числа Р, что 8Р^2(в квадрате) + 1 тоже простое Сумма нескольких натуральных чисел делится на 6.Всегда ли сумма кубов этих чисел будет делится на 6

вииик@ (27.02.11):

я чет не врубилась...

Тома (28.02.11):

Сумма нескольких натуральных чисел делится на 6.Всегда ли сумма кубов этих чисел будет делится на 6?
Рассмотрим сумму кубов нескольких чисел. К каждому кубу прибавим и вычтем его основание : a3= a+(a3 – a); b3= b + (b3 – b); c3= c+(c3 – c) и. т.д. преобразуем сколько угодно слагаемых. Тогда сумму кубов можно представить в виде суммы слагаемых, каждое из которых делится на 6.
a3+b3+c3+…… = a+(a3 – a)+ b + (b3 – b)+ c+(c3 – c) +……= (a+b+c….)+
+ (a - 1)a(a+1) + (b - 1)b(b +1) +(c – 1)c(c+1)+… ()
Слагаемое (a+b+c….) делится на 6 по условию. Разложим на множители каждую из разностей вида (a3 – a) = (a - 1)a(a+1) . При а=1 произведение
(a - 1)a(a+1)=0 - 0 делится на любое число, в том числе и на 6. Если а больше или равно двум, то (a - 1)a(a+1) – произведение трёх последовательных натуральных чисел, которое всегда делится на 6.
Если каждое слагаемое суммы делится на какое-то число, то и сумма делится на это число. Т.к. в правой части выражения () все слагаемые делятся на 6 при любых натуральных a,b,c…., то и левая часть a3+b3+c3+…… делится на 6.
Ответ: если сумма нескольких натуральных чисел делится на 6, то и сумма кубов этих чисел делится на 6.

Тома (28.02.11):

найдите все такие простые числа Р, что 8Р^2(в квадрате) + 1 тоже простое.
Рассмотрим частные случаи: пусть p=2, тогда 8p2 + 1=84+1=33 – делится на 3;
При p=3 8p2 + 1=89+1=73 – простое число.
При p=5 8p2 + 1=825+1=201 – делится на 3.
При p=7 8p2 + 1=849+1=399 – делится на 3.
Похоже, что числа вида 8p2 + 1, где p - простое и p 3 делятся нацело на 3. Проверим полученное предположение. При делении на 3 все числа могут давать остатки r, равные 0, 1, и 2, значит все значения p могут принять вид:
r=0 p = 3k – однако, это не возможно, т.к. p делится только на 1 и на себя, а полученные числа делятся нацело на 3.
r=1 p = 3k+1, тогда 8p2 + 1= 8(9k2+6k +1) +1 = 72k2 +48k+8+1= 3(24k2 +16k+3), т.е. все числа такого вида делятся на 3 и не могут быть простыми.
r=2 p = 3k+2, тогда 8p2 + 1= 8(9k2+12k +4) +1 = 72k2 +96k+32+1= 3(24k2 +32k+11), т.е. все числа такого вида делятся на 3 и не могут быть простыми.
Удалось показать, что 8p2 + 1 делится на 3 при любых значениях p , кроме 3.
Т.о. 8p2 + 1=73 - простое число только при p =3.
Ответ: p =3.

Аноним (09.03.11):

А ПО ЧЕЛОВЕЧЕСКИ ОБЪЯСНИТЬ МОЖНО!!!!!!!!!!

Тома (14.03.11):

“Искра знания возгорается в том, кто достигает понимания собственными силами”.
Индийский математик XII века Бхаскара.

Никто (16.03.11):

Фигня, гвно полние не фига не понятно кто согласен пишите за

Ислам (16.03.11):

Нечего путного,побольше примеров! И ПО ПОНЯТНЕЙ ВЫРАЖАЙТЕ СВОИ МЫСЛИ!

Аноним (26.03.11):

за

Михаил (05.04.11):

Число делится на 84 если оно делится на 2, 6 и 7.

6aPa6yJIka (11.04.11): А когда число делится на 6?    Ответ редакции

По субботам.

яночка (14.04.11):

привет! помогите пожалйста решить задачу: найдите трехзначное число кратное 45,если разность между этим числом и числом, записанном теми же цифрами в обратном порядке равна 297

Тома (17.04.11):

Обозначим искомое число xyz, где x – число сотен, y – число десятков, а z – число единиц. Ясно, что x, y, z могут принимать только натуральные значения, причём x- от 1 до 9, y - от 0 до 9, z – от 1 до 9 (если x=0, то число не будет трёхзначным, а если z=0, то не будет трёхзначным число, записанное теми же цифрами в обратном порядке). Искомое число представим в виде 100x + 10y + z, тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид 100z +10y +z. Запишем их разность:
100x + 10y + z – (100z +10y +x) = (100x-100z) + (10y-10y) – (x-z) = 100(x-z) - (x-z) = 99(x-z)
По условию 99(x-z) = 297, отсюда x-z = 3,
или х=z + 3 Имеем следующие возможности: z=1, тогда x=4;
z=2, тогда x=5; z=3, тогда x=6; z=4, тогда x=7;
z=5, тогда x=8; z=6, тогда x=9. По условию искомое число делится на 45, значит, оно делится на 5 и на 9. Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 5, т.к. z не может быть нулём. Т.о. возможна только пара x=8, z=5. Чтобы найти y, учтём, что число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9, т.е. x + y + z кратна 9. Сумма x+z=13, значит x + y + z = 18, а тогда y = 5. Искомое число 855.
Проверяем : 855: 45=19, 855 – 558 = 297.
Ответ: 855.

Тома (17.04.11):

PS Заметила опечатку в 4-ой строке: число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид
100z +10y + x.

ypa (11.05.11):

спасибо помогло

1120 (12.05.11):

Какое высказывание верно?
1. число 0 кратно любому числу
2. число 0 не кратно никакому числу

Тома (13.05.11):

Верно первое высказывание при условии а не равно нулю.: свойство умножения 0а=0 при а не равном нулю, следовательно 0:а=0 при а не равном нулю.
Возможно, в условии задачи речь шла о натуральных числах?

Тома (14.05.11):

Вчера погорячилась: свойство умножения 0а=0 верно всегда, а вот 0:а=о верно для всех а, кроме нуля. Таким образом, в данной формулировке оба высказывания ложны.

Алёна (30.05.11): если редакция ничего не знает, зачем писать???    Ответ редакции

Алёна/Катерина, редакция может ничего и не знает, но айпишники видит.
Не надо имитировать народное недовольство редакцией.
Спасибо.

Екатерина (30.05.11): 6aPa6yJIka (11.04.11):
А когда число делится на 6?
Ответ редакции:
По субботам.
а можно нормально объяснить?    Ответ редакции

6 = 2 3
Поэтому число делится на 6, если оно делится на 2 (последняя цифра - чётная) и на 3 (сумма цифр числа кратна трём).
Что такое "чётная цифра" надо объяснять?

наталья (14.06.11): подскажите пожалуйста какое самое большое число до 33 делится без остатка на 4,5,6,7,8,9    Ответ редакции

9875 = 2520
насчёт до 33 - вас обманули.

Наталья Еремина (20.06.11):

Помогите решить задание:
В рассуждении востановите пропущенную посылку "127 не делится на 2, следовательно 127 не является четным"

Ира (04.07.11):

Можно доказательство признака делимости на 7. Пожалуйста:)

саша (05.09.11):

а можно по нормальному объяснить

Угадай кто (05.09.11):

\\\\\\\ЗДЕСЬ ЧЁ ПО НОРМАЛЬНОМУ НЕ ОБЪЯСНЯЮТ\\\\\\\\\\\\:-)

вика (10.09.11):

я вообще ничего не поняла!

123 (11.09.11):

Доказать что (abc-cba)делятся на 9
(абс и сба цифры)

анюта (15.09.11):

я ничего не поняла из этих слов я в 6 классе

анирак (16.09.11):

ааааа хорошо то как теперь 2 не поставят а 5 поставят спасибос большоес))))

Феня (17.09.11):

Большес спасибочки!!!

рита (18.09.11):

4114 делится на 11, а как обьяснить не знаю,
подскажите пожалуйста

Лиска (18.09.11):

Внимание!Кто не понимает признак деления на 7, можете делать так. Например:
364:7, так как 36-42=28 28 делится на семь без остатка!
Или просто считайте на калькуляторе!

рита (18.09.11):

пожжалллуйста

Аноним (19.09.11):

Найти трёхзначное число,первая цифра которого 2 делиться на 2 на 5 и на 9?

Skaylayn (19.09.11):

свойства делимости на 7

6 класс (19.09.11):

Подскажите мне пожалуйста 5 чисел, которые делятся и на 11 и на 7

6 класс (19.09.11):

Извините 5 четырехзначных

Аноним (22.09.11): Помогите пожалуйста!Какое наименьшее четырёхзначное число делится на 13?    Ответ редакции

Делим в столбик 1000 на 13, получаем 76 и остаток 12. Умножаем 77 на 13, получаем 1001. PROFIT!

Аноним (23.09.11):

а какой признак делимости на 111???

Мария (26.09.11):

Просто заметила комментарии типа "я ничего не понял, я в 6 классе". А что вы тогда в 6 классе делаете?! Я тоже в шестом, но ведь всё довольно понятно!
З.Ы. Спасибо большое, благодаря вам, у меня дополнительная пятерка ^^

^^машка^^ (05.10.11): какое число делиться на 11 и 13???    Ответ редакции

1113=143
числа простые, поэтому они общих делителей не имеют

я (07.10.11):

не понял признак делимости на 7

Юлия (09.10.11):

Помогите решить :Докажите что 13+13^2(в квадрате)+13^3+13^4+,,,+13^2009+13^2010 делится нацело на семь?

даша (11.10.11):

бред я не что не поняла

Миша (20.01.12):

при каких делителях остаток не может равняться 2,4,7?

Тома (02.02.12):

Остаток всегда меньше делителя, значит пи делении на 2 не может быть остатка 2, при делении на4 не может быть остатка 4, при делении на 7 не может быть остатка 7. Если в задаче имеется ввиду, что при делении не может появиться ни один из предложенных остатков, то делитель 2.

Аноним (09.02.12):

КАКОЕ ТРЁХКРАТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА НА 7,НА 8,НА 9.

Ольга (10.02.12):

Помогите решить голова уже пухнет: доказать что число вида аааиии делится на 37 и найти все трехзначные чилса которые уменьшаются в 13 раз при вычеркивании средней цифры

Тома (13.02.12):

КАКОЕ ТРЁХКРАТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА НА 7,НА 8,НА 9.
Вероятно, Вы имели ввиду трёхзначное число. В этом случае искомое число должно делиться без остатка на 7, 8,и 9,т.к. они взаимно простые. Единственное трёхзначное число, удовлетворяющее этим требованиям, 789=504.

ДоБрОжЕлАтЕлЬ (16.02.12): Не думайте, что я мошенник.Есть хороший сайт, я там сижу.Хотите проверяйте,хотите нет-там есть ГДЗ по всем предметам.На всякий случай кину ссылочку:    Ответ редакции

Есть много хороших сайтов, мошенник.

Алинка (22.02.12):

Ребят, не поняла признак делимости на 7....(
Объясните попроще пожалуйста.

Леонид Васильевич (29.02.12):

Предлагаю другой признак делимости чисел на 7: исходное число (в десятичной системе счисления) переводим в восьмеричную систему счисления и если сумма цифр этого восьмеричного числа равна или кратна 7, то тогда и только тогда исходное десятичное число делится на 7. Пример: десятичное число 259 - переводим в восьмеричную систему счисления - получаем 403 - сумма цифр этого числа равна 7, значит исходное десятичное число 259 делится на 7.

malek (01.03.12):

помогите решить задачу если число кратно 99, то сумма его цифр не меньше 18 пожалуйста!!!!

Алёнка (05.04.12): Пожалуйста, помогите: Какое число делится и на 7 и на 8 и на 9 без остатка    Ответ редакции

789 = 504
меньше чисел нет, потому что 7,8,9 не имеют общих делителей.

Кирилл (07.04.12):

Помогите решить задачу. Лиза выбрала двузначное число , не делящееся на 10. Поменяла его цифры местами и вычислила разность полученных чисел.. Какое самое большое число она могла получить?

N. (16.04.12):

72

:):):) (17.04.12):

я нифига не поняла...(((((((((((((

Jet (19.04.12):

Помогите решить задачу. Лиза выбрала двузначное число , не делящееся на 10. Поменяла его цифры местами и вычислила разность полученных чисел.. Какое самое большое число она могла получить?
Решение:
10a+b, b≠0 - так как Лиза выбрала двузначное число, не делящееся на 10;
10b+a - Лиза поменяла цифры числа 10a+b;
разность (10b+a) - (10a+b) = 9b-9a = 9(b-a)
b≠0 и может принимать значения от 1 до 9, a может принимать значения от 1 до 9.
для того чтобы значение выражения 9(b-a) было наибольшим, надо чтобы b=9 и a=1
9(9-1)=98=72
Лиза выбрала число 19

Jet (19.04.12):

КАКОЕ ТРЁХКРАТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА НА 7,НА 8,НА 9.
Вероятно, Вы имели ввиду трёхзначное число. В этом случае искомое число должно делиться без остатка на 7, 8,и 9,т.к. они взаимно простые. Единственное трёхзначное число, удовлетворяющее этим требованиям, 789=504.
поправочка небольшая
В этом случае искомое число должно делиться без остатка на 7, 8,и 9,т.к. они взаимно простые в совокупности.
Определение
Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Например,
8, 15 — не простые, но взаимно простые,
2, 7 — простые и взаимно простые.
Если среди чисел a(1), a(2),..., a(k) любые два являются взаимно простыми, то числа a(1), a(2),..., a(k) называются попарно взаимно простыми.
Например,
6, 8, 9 — не попарно взаимно просты (так как числа 6 и 8 (6 и 9) не взаимно просты).
8, 15, 49 — попарно взаимно просты.
Если же наибольший общий делитель чисел a(1), a(2),..., a(k) равен 1, то числа
a(1), a(2),..., a(k) называются взаимно простыми в совокупности.
Например,
6, 8, 9 - взаимно простые числа в своей совокупности,
3, 4, 9 - взаимно простые числа в своей совокупности.

Jet (19.04.12):

Найдутся ли хотя бы 3 десятизначных числа, в записи которых использованы все цифры от 0 до 9, которые делятся на 11.
Решение:
1) десятизначное число, в нем 5 цифр стоят на четных местах, 5 на нечетных, то есть у нас две группы, а именно сумма цифр на четных местах и сумма цифр на нечетных местах, обозначим сумму цифр на нечетных местах a, а на четных b
2) по условию сказано, что десятизначное число содержит десять различных цифр, как ни крути от перемены слагаемых сумма не меняется, то есть сумма двух групп будет
a+b=(сумма на нечетных)+(сумма на четных)=0+1+2+...+9=45
3)по признаку делимости на 11 дестизначное число делится на 11 тогда и только тогда, когда |a-b|=11n, n=0;1;2;...
4)на этих условиях составляем систему
a+b=45
|a-b|=11n, n=0;1;2;...
из первого уравнения выразим b=45-a и подставим во второе
|a-(45-a)|=11n
|2a-45|=11n
5)решим полученное уравнение
|2a-45|=11n
пусть n=0, тогда 2a=45, a=22,5, но сумма целых чисел целое число, следовательно, значение n=0 мы отбрасываем;
пусть n=1, тогда 2a=45+11, 2a=56, a=28, a=1+3+7+8+9=28 например
пусть n=2k, тогда 2a=22k+45, 22k+45 - нечетное, нечетное не делится нацело на четное, следовательно, n-нечетное
пусть n=3, тогда 2a=33+45, 2a=78, a=39 - не может быть так как сумма пяти наибольших однозначных чисел равна 5+6+7+8+9=35.
при других значениях n значение числа a будет больше 39, следовательно, данному уравнению удовлетворяет только n=1.
Ответ: да найдутся, например, 5968472301, 6958472301 и 5908472361 что и требовалось доказать.

Тома (19.04.12):

Yet! Спасибо за очередное красивое решение задачи о делимости на 11. Безусловно принимаю Ваше уточнение о числах взаимно простых и взаимно простых в совокупности, но в школьных учебниках это понятие не вводится, а решение написано для школьников. Если возможно, напишите, пожалуйста Ваше решение задачи от Александра. Мне удалось построить примеры таких чисел, но найти всё множество представляется весьма затруднительным из-за технических сложностей. Возможно существует какой-то подход, который даст всё множество.
Заранее благодарна.
Александр (21.09.10):
Всем здравствуйте. Помогите решить задачку!
Найдите все семизначные числа, все цифры которых различны и которые делятся на все эти цифры.

Коз (25.04.12):

У меня такой вопрос, 9:9=1 какой у это примера остаток?

Тома (26.04.12):

Остаток равен нулю.

Леонид Васильевич (30.04.12): Уважаемая редакция! Прошу прокомментировать мое предложение по признаку делимости чисел на 7. Напоминаю суть предложения: исходное число в десятичной системе счисления переводим в восьмеричную систему счисления и, если сумма цифр этого восьмеричного числа равна или кратна 7, то тогда и только тогда исходное десятичное число делится на 7.    Ответ редакции

А что, есть какие-то элементарные способы перевода в восьмиричную систему счисления из десятиричной?
Можно тогда уж сразу столбиком на 7 разделить и посмотреть, есть ли остаток.

lfsr (12.06.12):

сумма кубов трех чисел делится на 7, доказать что произведение трех этих чисел делится на 7.
a^3 + b^3 + c^3 делится на 7, доказать что abc делится на 7.
Желательно 2-мя способами, через признак делимости и через деление с остатком.

Alina (01.07.12):

Признак делимости на 27
Разделите число на блоки по 3 цифры справа налево. Число делится на 27 тогда и только тогда, когда сумма всех блоков делится на 27.

Alina (01.07.12):

Интересная задача на признак делимости на 7:
Сумма цифр трехзначного числа, все цифры которого различны, делится на 7; само число также делится на 7. Найти все такие числа.
Взято из книги Е.В.Галкин Задачи с целыми числами. -М.: Просвещение,2012. Задача №306, стр.59.

данилко (31.07.12): Помогите пожалуйста решить задачу:" Цифры a, b, c, таковы, что 2c=3a+b, доказать, что число 100a+10b+с делится на 7"    Ответ редакции

Из 2c=3a+b следует, что b=2c-3a
100a+10b+c = 100a+10(2c-3a)+c = 100a+20c-30a+c=70a+21c=7(10a+3c) — это число делится на 7

иор (09.09.12):

какие признаки делимости на45и на12

лайк (12.09.12):

какой признак делимости на 13,объясните по понятней

LordRaLL (14.09.12):

а есть делимость на 13??если да то объясните плиз!

black (16.09.12):

помогите найти наименьшее десятичначное число,кратное 7,все цифры десятичной записи которого различны

Ангелина (24.09.12):

не могу выучить

.. (25.09.12):

Ну и правила как их учить..

Призрак_Времени (26.09.12):

Что такой знакопеременная??Вообще не понятно

Призрак_Времени (26.09.12): А не могли бы вы более доступно объяснить??    Ответ редакции

Знакопеременная: берём последнюю цифру со знаком плюс, предпоследнюю — со знаком минус, предпредпоследнюю - снова с плюсом, следующую - с минусом. И считаем эту сумму (точнее, сумморазность). Если получается что-то кратное 11, например 0, +11, -11, +22, -22 - то и само число делится на 11.
Например возьмём число 12364. Его знакопеременная сумма: +4-6+3-2+1 = 0, поэтому само число 12364 делится на 11.

Аноним (07.10.12):

Найдите наименьшее десятизначное число кратное 7 все цифры десятичной записи которого различны.Помогите пожалуйсто

Аноним (09.10.12): сумма натуральных чисел которые делятся на 7 и не делятся на 13?? помогите пожалуйста    Ответ редакции

Таких чисел слишком много (бесконечность)

Аноним (09.10.12):

ну можете хотя бы один пример привести с объяснениями,пожалуйста..очень надо

ВАДИМ (20.10.12):

Я смотрел другой сайт там все понятно. Сейчас думаю что это как-то непонятно. Я бы написал признаки и получше.

Аноним (21.10.12):

подскажите наименьшее десятизначное число,кратное 7 все цифры которого различны

нюська (25.10.12):

подскажите пожалуйста как:Доказать, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.

gulka (07.11.12): podskajite plizz... dvuxznacnoe cislo bolshe 50ti,kotoroe pri delenii na 2 dayot ostatok 1,pri delenii na 9 dayot v ostatke 2,a pri deleniina 8 ostatok raven 3yom.    Ответ редакции

83 & translit.ru

МОД (15.11.12): сайт херь модератор лол    Ответ редакции

зато комментаторы интеллектуалы

Антропос математикос (17.11.12): Замечательный сайт.
Был бы рад его развитию. Напрмер, раздел с задачами о делимости многочленов над простыми полями.    Ответ редакции

ἄνθρωπος μαθηματικός, крутой ник.
Мы бы тоже были рады развитию, но штат маловат.

Антропос математикос (17.11.12): Re Вы не похожи на человека, извините.
Сам ты робот
А я на высокое звание "хомо сопящего" не претендую    Ответ редакции

В следующей версии сайта уберём капчу, есть более удобные способы борьбы со спамом.

Спрашивающий (21.11.12): А Как доказать, что произведение нескольких натуральных чисел не может заканчиваться на 13? ..13    Ответ редакции

213 = 3 × 71
Если имеется в виду произведение нескольких последовательных натуральных чисел, тогда да: произведение любых двух последовательных натуральных чисел чётно, потому что хотя бы один из множителей чётен.

Спрашивающий (21.11.12):

А... вот как. Спасибо!

неизвестная (03.12.12): плиз признаки делимости на 45 плиииииииз оч надо    Ответ редакции

45 это пятью девять
на 5 (число заканчивается нулём или пятёркой) и на 9 (сумма цифр числа кратна 9)

-------------------- (05.12.12): Этот сайт полное ничтожество!!!    Ответ редакции

Какие комментаторы, такой и сайт.

Антропос математикос (08.12.12): Я посоветовал бы редакции не показывать неконструктивную критику.
Если некоему интеллектуалу от критики не понравится, скажем, Ваш автомобиль, и он, не найдя лучшего способа выразить свои эмоции, плюнет на бампер, Вы, я полагаю, не станете возить его творчество.
С уважением,    Ответ редакции

ἄνθρωπος μαθηματικός, приветствую вас.
Про неконструктивные критиков, которые тратят время и на капчу, и на комментарий, написал классик: "Я бежала за вами три дня и три ночи, чтобы сказать, как вы мне безразличны".

Антропос математикос (08.12.12): Я посоветовал бы редакции не показывать неконструктивную критику.
Если некоему интеллектуалу от критики не понравится, скажем, Ваш автомобиль, и он, не найдя лучшего способа выразить свои эмоции, плюнет на бампер, Вы, я полагаю, не станете возить его творчество.
С уважением,    Ответ редакции

ἄνθρωπος μαθηματικός

Антропос математикос (08.12.12): Не получается вставить юникод в это окно.
Не посоветуете, как это сделать?    Ответ редакции

Да надо переделать сайт на utf8 просто.
Движок старенький уже.

Ева (09.01.13):

вы мне помогли! СПАСИБО!!!

Аноним (15.01.13): Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (т. е. 182919 делится на 11 т. к. 1-8+2-9+1-9 = −22 делится на 11 (т. к. все числа вида 10^n при делении на 11 дают в остатке 1 или -1.))    Ответ редакции

Ну так вроде и написано.

Алина (21.02.13): что такое знакопеременная?помогите,срочно надо!    Ответ редакции

последняя цифра с плюсом, предпоследняя - с минусом, и так до первой меняя знаки
или наоборот - первая с плюсом, вторая с минусом и до последней

Алина Лайдус (21.02.13):

спасибо:)

Алина Лайдус (21.02.13): а есть другие признаки делимости на некоторое(другое) число?    Ответ редакции

из простых - 2,3,5,9,11 и их произведения.

Алина Лайдус (21.02.13): как понять:"образованы тройками его цифр"?помогите,срочно надо!    Ответ редакции

Возьмём число 1234567890
Тройки его цифр (с конца): 890, 567, 234, 1
Знакопеременная сумма троек: + 890 - 567 + 234 - 1 = 556
Поэтому остаток от деления числа 1234567890 на 7 такой же, как и при делении 556 на 7
Тоже самое справедливо если вместо 7 поставить 11 или 13

Аноним (18.03.13):

да блин нифига не ясно!!!

Сигирия (23.03.13):

Редакция, вы великолепна! :))))

Lika (18.04.13): помогите пожалуйста!!!надо доказать признак делимости на "2"    Ответ редакции

В каком классе?

Lika (18.04.13): В вузе    Ответ редакции

Любое натуральное число n представимо в виде 10a+b, где b - его последняя цифра.
10a делится на 2 нацело (в результате получается 5a).
Дальше рассказывать?

Елена (25.04.13):

Здравствуйте! Пожалуйста помогите решуить задачу 4a - 5b делится на 13, a и b - целые числа.
Доказать, что 8a -13b делится на 13.

Glafira (12.05.13):

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу - Найти наибольшее двухзначное число n при котором остаток от деления числа (3 в степени n + 7 в степени n) на 16, если такое число n существует.

Glafira (12.05.13):

Извините пропустила в условии, что остаток равен 2. Условие еще раз :) Помогите пожалуйста решить задачу - Найти наибольшее двухзначное число n при котором остаток от деления числа (3 в степени n + 7 в степени n) на 16 равен 2, если такое число n существует.

Аноним (08.06.13): Это гавно, т.к. ваш признак не работает для 49, 4123. (не работает для 7 и 13). Тот кто это писал наверное не знает сколько будет 2 + 2, а для вывода признаков нужно знать много чего...    Ответ редакции

Что именно не работает, "это гавно"?

Галина (17.09.13): здравствуйте. докажите, что число 1150986753 кратно числу 283    Ответ редакции

283 простое, поэтому кроме как поделить столбиком ничего не могу посоветовать.

foxAfrica (31.10.13):

Подскажите мне пожалуйста 5 чисел, которые делятся и на 11 и на 7
7700
7007
7777
771111=5929
77711=3773

Кукурузник (10.12.13):

У вас в признаке на 7 ваще гомно получается

рита (09.01.14):

Как объяснить 228475 и 27645475 делится на 13 и 19?

Аноним (15.01.14):

сумма цифр трехзначного числа равна 7. Доказать,что это число делится га 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны. помогите решить очень надо

Катя (19.01.14):

Подскажите пожалуйста как решить задачу? Трехзначное число abc делится на 17, девятизначное число a000b000c делится на 37. найдите число abc .

Аноним (17.03.14):

прекрасный сайт мне понравилось по нему работать

Аноним (11.04.14): напиши сколько последовательных двузначных чисел чтобы среди них хотя бы два числа при делении на 7 давали одинаковые остатки    Ответ редакции

Условие немножко по-странному написано.
Два последовательных числа всегда дают разные остатки при делении на 7.
Более того, даже семь последовательных чисел дают разные остатки при делении на 7: 0,1,2,3,4,5,6 (возможно в другом порядке).
Чтобы в группе послеловательных чисел нашлось два, дающих одинаковые остатки на 7, нужно, чтобы в этой группе было 8 (или больше) чисел.
Количество цифр в числах (двузначность, трёхзначность) не имеет значения.

Аноним (16.09.14):

цифру 7 разделить на шестизначное число что бы оканчивается на 4 сколько их

Эмма (17.09.14): Докажите, что разность любого трехзначного числа и трехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.    Ответ редакции

Трёхназное числа abc равно 100a+10b+c, число, записанное теми же цифрами в обратном порядке — это cba, равное 100c+10b+a.
Разность между ними: (100a+10b+c)-(100c+10b+a)= 99a-99c = 99(a-b)
Очевидно, что эта разность делится на 99, а значит и на 9, и на 11.

вася (13.10.14):

1. Сложили 111 тысяч, 11 десятков и 11 единиц. Какой остаток получится от деления суммы на 7?

ваня (27.10.14): Число состоит из 2011 единиц. Какой у него остаток при делении на 11?    Ответ редакции

Ваня, остаток будет равен 1.
Чтобы убедиться в этом, нужно рассмотреть число, на 1 меньшее твоего. Это будет 2010 единиц и ноль в конце. Если мы посчитаем знакопеременную сумму цифр этого числа (это будет 0-1+1-1+1.... - всего будет 1005 пар вида "минус один плюс один"), то получим ноль. Это значит, что число с нулём в конце разделится на 11 нацело. Очевидно, что следующее за ним число даст остаток при делении на 11, равный 1.
(Потому что остатки последовательно равны 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,1,2 ....)

Аноним (17.11.14): как рассуждать в примере доказать делимость на 11 суммы 7 в степени 2н+1 и 4 в той же степени?    Ответ редакции

Скорее всего, нужно воспользоваться формулой суммы нечётных степеней:
x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2nx2n – 1y + x2n – 2y2 – ... – xy2n – 1 + y2n)
Можем вычислить первый множитель справа: (x + y). Он как раз и будет равен 11.

Аноним (19.11.14): Спасибо!В каком классе изучают эту формулу?(кроме х в кубе плюс у в кубе?)    Ответ редакции

Вот этого не знаем. Вот нашлось довольно простое доказательство, опирающееся на формулу суммы членов геометрической прогрессии — её, вроде бы, учат довольно рано.

Аноним (19.11.14):

Спасибо!Док-во тоже прочитала,и следствия из него.Будем умнее!

Аноним (30.11.14):

признаки делимости на 7 и 13

Я (15.01.15):

Очень хороший сайт. Всем, кто плохо отзывается, хочется сказать : "Завидуйте молча или наймите репетиторов!!!"))))

е6гоено (08.04.15): читаю коменты и понимаю, что все пользователи неблагодарные свиньи, а редакция и сайт отлчные!!!!!    Ответ редакции

Не все, но всё равно спасибо за понимание.

Аноним (07.09.15): Докажите,что разность между двузначным числом и числом,записанным этими же числами в обратном порядке, делится на 11...    Ответ редакции

Не делится.
32 — 23 = 9, например.
На 9 делится всегда.

Аноним (08.09.15): А как это записать в виде букв?    Ответ редакции

Вот здесь вот записано в виде букв для трёхзначных чисел: http://petruchek.info/problems/three-digits-reversed.html
Предоставляем вам возможность переписать это в виде букв в случае двухзначных чисел.

Аноним (10.09.15): Нет,я имею в виду,как записать в виде букв то,что не делится...    Ответ редакции

Записываете разность между ab и ba - получается 9(a-b)
Чтобы это число делилось на 11 (11 - простое), нужно чтобы или 9, или (a-b) делилось на 11.
9 на 11 не делится, смотрим на второй множитель.
a,b - это цифры, значит a-b может принимать значение в диапазоне от -9 до +9. Единственное число из этого диапазона, которое делится на 11 - это 0.
Этот ноль возникает только тогда, когда a=b.
Значит разность между двухзначным числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке делится на 11 только тогда, когда число состоит из двух одинаковых цифр. 11, 22, и так до 99.

Аноним (11.09.15):

спасибо!

Dan (14.09.15): Подскажите пожалуйста, не могу разобраться со знакопеременными суммами.
Вот есть число 749, оно делится на 7. 749/7=107.
Но знакопеременная сумма 749 будет выглядеть так 7-4+9, а это равно 12 и на 7 не делится.
Видимо я неправильно понимаю суть понятия - знакопеременная сумма.
Заранее благодарю за ответ.    Ответ редакции

Знакопеременная сумма является критерием делимости на 11, а не на 7.
Например 759: 7-5+9 = 11, значит 759 делится на 11.

Алена (24.09.15): Подскажите пожалуйста нужно найти минимально возможное число, составленное из цифр 99 такое, чтобы оно делилось на 7,11,13 без остатка    Ответ редакции

Из девяток?

Оля (27.10.15):

Число а делится на 99. Докажите, что сумма его цифр не меньше 18. Заранее спасибо

Аноним (01.02.16): а для числа 1001 ваш признак на 7 ни хя ни годится    Ответ редакции

Вы просто не умеете его применять, хамло.

мяясо (26.09.16):

чёт трудновато)

кекулес (11.11.16): Найдите наименьшее четырёхзначное число, не делящееся на 10 и обладающее следующим свойством: если переставить цифры в обратном порядке, то получится число, которое кратно первоначальному, причём частное отлично от единицы.    Ответ редакции

Таких числа всего два: 1089 и 2178
1089 9 = 9801
2178 4 = 8712
Если рассмотреть сумму abcd + dcba, то она будет гарантированно делиться на 11.
Строгое доказательство быстро не придумывается.

Аноним (02.04.17): Помогите. Четырёх значное число делится на 13 , даёт остаток 11. Полученное число делится на 11 , даёт остаток 7. Полученное число делится на 7 , даёт остаток 5.    Ответ редакции

Не очень понятно, что имеется в виду под "полученным числом". Целая часть от деления? Если да, то все такие числа имеют вид 1001x+817, самое маленькое из них 1818.

Аноним (18.08.17): Как доказать что 5^101+5^99 делится на 13    Ответ редакции

5^101 + 5^99 = 5^99 (5^2+1) = 5^99 26 = 5^99 2 13
Один из множителей этого числа равен 13

Ильяс (25.11.17): Делится ли число 83569874 на 7?    Ответ редакции

Вообще говоря нет.
Но признак делимости на 7 довольно громоздкий. Нужно разделить число на несколько трёхзначных чисел (если не хватает цифр, слева дописать нули) и посчитать их знакопеременную сумму, вот так:
083-569+874 = 388
388 можно уже и в уме разделить: 388 = 350 + 38 = 350 + 35 + 3 — на 7 не делится, значит и исходное число 83569874 не делится на 7.
Можно было проверить 388 с помощью другого признака: если удвоенное число единиц числа отнять от оставшегося числа десятков и результат будет делиться на 7, то число кратно 7.
388 = 38-(2×8) = 38-16 = 22 - не делится.
Ну или всегда можно в столбик поделить (если умеете).

Комментарий от новенького: Новенький является анонимом по имени: владельцем openid: Новенький не робот Знаки на картинке:латинские буквы, арабские цифры
Как сделать деление в столбик на трехзначное число Как сделать деление в столбик на трехзначное число Как сделать деление в столбик на трехзначное число Как сделать деление в столбик на трехзначное число Как сделать деление в столбик на трехзначное число Как сделать деление в столбик на трехзначное число Как сделать деление в столбик на трехзначное число Читать новость Как сделать деление в столбик на трехзначное число фото. Поделитесь новостью Как сделать деление в столбик на трехзначное число с друзьями!

Похожие статьи:




Реле времени стиральной машины своими руками




Схема стабилизатора на 5 вольт на транзисторе




Открытка для денег своими руками пошагово




Поздравления мужа с годовщиной свадьбы 2 года в прозе




Поздравление к подарку банка огурцов